Fibonaccitallene

Denne skønhed har fascineret mennesker i årtusinder og ført matematikere til omfattende forskning – uafhængigt af dens praktiske anvendelse. Fibonaccitallene er et eksempel på dette, som gerne undervises i Steiner­skolens 10. klasse.

I 1202 skrev den italienske matematiker Leonardo Fibonacci sit værk Liber Abaci. Her morede han sig bl.a. med følgende problemstilling:

Hvis to nyfødte kaniner (en han og en hun) bliver holdt i en beskyttet indhegning, hvor mange kaniner vil der da være efter et år?

Han gjorde følgende antagelser:

1. Ethvert kaninpar kan og vil få unger, når de er en måned gamle

2. Alle kaninpar, som er ældre end en måned, vil få to unger hver måned – en han og en hun

3. Ingen af kaninerne dør i løbet af et år

Figur 1 viser, hvordan antallet af kaninpar udvikler sig i løbet af de første 6 måneder.

Figur 1: Små kaninpar er nyfødte og kan ikke formere sig. Store kaninpar får to unger hver måned og lever selv videre. Tallene til højre viser antallet af kaninpar i den pågældende måned.

Udvikling i antallet af kaninpar i løbet af et år

Antal måneder

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Antal kaninpar

1

1

2

3

5

8

13

21

34

55

89

144

Tabel 1 viser, hvordan antallet af kaninpar udvikler sig i løbet af et år. Tallene i tabellens nederste linje er Fibonaccitallene. Når eleverne bliver opmuntret til at studere disse tal, opdager de den ene fascinerende lovmæssisghed efter den anden:

Fra det ene Fibonaccital til det næste

Som noget af det første ser de, at summen af to på hinanden følgende Fibbonaccital giver det næste Fibonaccital i rækken (figur 2).

F.eks. er 1+1 = 2, 1+2 = 3, 3+5 = 8, 5+8 = 13 o.s.v:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

Delbarhed og flere mønstre

En anden lovmæssighed træder frem når man undersøger Fibonaccitallene med hensyn til delbarhed. Nedenfor er de Fibonaccital, som kan deles med 2, markeret med rødt:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Vi ser, at det er hvert tredie tal og bemærker, at dette er interessant, fordi 2 netop er det tredie Fibonaccital. Måske en tilfældighed? Vi fortsætter undersøgelsen og markerer de Fibonaccital, som kan deles med 3:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Det bliver hvert fjerde tal – igen en pussighed, for 3 er netop det fjerde Fibonaccital!

Hvordan med de tal, som kan deles med 5?

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Det kan hvert femte tal i rækken – det passer med, at 5 er det femte Fibonaccital.

8 er det sjete Fibonaccital – og vi ser, at akkurat hvert sjete Fibonaccital er deleligt med 8:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

Man kan bevise matematisk, at dette overraskende mønster fortsætter for alle Fibonaccital!

Fibonaccital i naturen

I solsikkens blomst findes et spiralmønster – med uret eller mod uret afhængig af, hvordan man betragter det. Antallet af spiraler i de to retninger vil næsten altid være to på hinanden følgende Fibonaccital (fig 3).

Fibonaccitallene og det gyldne snit:

Figur 4 viser et linjestykke delt i det gyldne snit. Det vil sige, at forholdet mellem den store del a og den lille del b er det samme, som forholdet mellem hele linjestykket (a+b) og den store del a. Det sker, når a er 1,61803… gange så lang som b. Dette tallet kaldes phi (φ). Det vil altså sige at a/b=a+b/a=φ=1,61803…

Tilbage til Fibonaccitallene: Brøkerne nedenfor viser, hvad der sker, hvis man deler et Fibbonaccital med et foregående Fibonaccital:

1/1=1 13/8=1,625

2/1=2 21/13=1,61538…

3/2=1,5 34/21=1,61905…

5/3=1,6666…. 55/34=1,61764…

8/5=1,6 89/55=1,61861…

Jo større Fibonaccitallene bliver, jo mere vil forholdet mellem dem nærme sig det omtalte tal = 1,61803…, altså det gyldne snit! Dette er altid en begejstrende oplevelse for eleverne!

Fibonaccispiralen

Vi laver nu en figur af kvadrater, som har kantlængden 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 o.s.v. (fig 5). Dette bliver således en geometrisk fremstilling af Fibonaccitallene. Herefter konstruerer vi en kvart cirkelbue i hvert af kvadraterne (fig 6). Herved opstår Fibonaccispiralen.

Akkurat denne spiralform findes overraskende nok overalt i naturen.

Eleverne oplever således, hvordan Fibonacci­tallene gemmer på mange mønstre og over­raskende sammenhenge til fænomener, som rækker langt ud over det oprindelige kaninspørgsmål. Dette vækker en fængslende fascination og interesse hos dem. Generelt kommer matematiken til at virke spændende, relevant og interessant, hvis den formidles på en måde, så eleverne ikke bare oplever dens kraftfuldhed, men også dens udprægede æstetik. Det er en spændende udfordring for lærere at udvikle sådanne undervisningsoplæg.

Matematikken indeholder ikke bare sandhed, men også den allerhøjeste skønhed – en kølig og og streng skønhed, som hos en marmorstatue… En skønhed, hvis renhed og fuldkommenhed, man kun finder i den allerhøjeste kunst.

Bertrand Russell

Figur 3: Kærnerne i en solsikke danner et mønster af spiraler. Antallet af spiraler som går med uret og antallet af spiraler, som går mod uret vil næsten altid være to på hinanden følgende Fibonaccital. Her er der eksempelvis 34 spiraler med uret og 21 spiraler mod uret.

a

a+b

b

Figur 4: Linjestykke delt i det gyldne snit

Figur 5: Geometrisk fremstilling af Fibonaccitallene

Figur 6: Fibonaccispiralen

Figur 7: Eksempler på Fibonaccispiralen i naturen.

Birte Vestergaard

Lektor i matematik og naturfag ved Oslo By Steinerskole. Mastergrad i matematik og geografi fra FU Berlin, Københavns Universitet og Roskilde Universitetscenter.